Про застосування узагальнених конфлюентних

гіпергеометричних функцій.

Н. Вірченко

 

    Впродовж останніх десятиріч посилився інтерес до теорії спеціальних функцій, оскільки ці функції відіграють важливу роль у різноманітних галузях природничих, технічних наук, зокрема, при розв’язанні складніших задач математичної фізики, аеродинаміки, атомної фізики, астрофізики, акустики, квантової теорії поля, теорії імовірностей та математичної статистики, біомедицини, та ін.

     Серед спеціальних функцій особливо виділяються гіпергеометричні функції, саме узагальнені та частинні випадки гіпергеометричних функцій, як от: функції Бесселя, функції Лежандра, функції Матьє, ортогональні многочлени та ін. – займають панівне місце серед інших вищих трансцендентних функцій завдяки великій практичній значущості.

     Як відомо, гіпергеометричні функції були запроваджені ще Л. Ейлером, та з часом вивченням, дослідженням, узагальненням гіпергеометричних функцій займались багато вітчизняних та зарубіжних вчених.

      Зауважім, що оцінка важливості окремих класів спеціальних функцій змінювалась протягом останнього сторіччя. Тепер особливо цінними для практики виявились узагальнені вироджені (конфлюентні) гіпергеометричні функції. Вони вже знайшли застосування у математичній фізиці, теорії імовірностей, теорії кодування, в інтегральному численні, а часами – і несподівані застосування, приміром, в атомній фізиці. Цікавий підхід до узагальнення гіпергеометричних функцій подав E. Wright.

     Теоретична та практична вагомість узагальнених вироджених гіпергеометричних функцій викликає необхідність та доцільність глибшого вивчення, дослідження, застосувань їх.

     Стаття присвячена застосуванню r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії спеціальних функцій.

1.    Розглянемо r–узагальнену конфлюентну гіпергеометричну гіпергеометричну функцію у вигляді:

                                                 (1)

де – бета-функція [1],                                                                                    -узагальнена конфлюентна гіпер­геомет­­­рична функція [2]:

                           (2)

де        [ … ] – узагальнена Fox-Wright функція [ 3 ].

      Зауважім, що при    в (2) маємо функцію    [ 2 ], водночас із (1)  –   функцію ; при   (1) дає класичну конфлюентну гіпер­геометричну функцію  [1], яку називають першою функцією Куммера.

       Другу функцію Куммера узагальнюємо у такому вигляді:

                                                           (3)

де 

гама функція [1],  узагальнена конфлю­ентна гіпергеометрична функція [ 2 ].

2. Подамо застосування функції    до запровадження нових узагальнень   – функції,  – функції,    – функції, функцій Вольтерра.

а) r-узагальнену гамма-функцію     визначимо виразом

                                             (4) де функція (1). При       матимемо класичну гамма-функцію [ 1 ].

                r-узагальнені неповні гамма-функції визначимо виразами:

                                            (5)

                                            (6)

де х > 0 . 

Теорема 1 (опуклість функції   ).    

При     справедлива формула:

                         (7)

 Доведення. Поклавши   в (4) та використавши нерівність Гельдера, одержимо (7).

     Цікаві частинні випадки (7). Наприклад, якщо в (7)   то маємо:

                                 (8) звідки випливає порівняння середнього геометричного з середнім арифметичним:

 .        (9)

      Теорема 2 (про інтегральні зображення функції   ).

      Якщо     то справедливі рівності:

                              (10)

                                                   

                  (11)

                                                   .

      Доведення випливає із рівності (1), основного інтегрального зображення функції    та відповідних підстановок.

 б).  r-узагальнену бета-функцію   визначимо виразом:  

                                          (12)   де   функція (1). Зауважім, що при    в  (12)  одержимо класичну бета-функцію [1].

       Теорема 3.  Для  r-узагальненої бета-функції справедливі такі інтегральні зображення:

                                 (13)

                                    (14)

      Теорема 4 (узагальнення формули Рамануджана).

Якщо  то справедлива формула:

.          (15)

Доведення. Покладім у формулі (14):

                                          

тоді матимемо:

                                    

                                    

Далі нехай   , після перетворень одержимо формулу (15).

в)  За допомогою  r-узагальненої гамма-функції запровадимо узагальнення псі-функції –   r-узагальнену псі-функцію  :

                                      (16)

де   – функ­ція (1). При     із (16) одержимо класичну функцію      [1].

      Легко отримати для функції   узагальнення формул Діріхле, Гауса, Біне.

г)  r-узагальнену  -функцію Гурвіца                     

 визначимо так:

                                                     (17)

 

де  – функція (1).

Очевидно, що при   матимемо класичну функцію Рімана   ,  а при   ,   – дзета-функцію Гурвіца  [1].

Примітка.   r-узагальнені функції гіпергеометричного типу можна застосовувати і для узагальнення функцій Вольтерра [1] та споріднених до них.

Наприклад:

                                                                       (18)

                                                            (19)

 

 

 

 

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 3-х т. – М.: Наука. – Т. 1. Гипергеометрическая функция, Функции Лежандра, 1973 – 296 с.; Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, 1974. – 296 с.; Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, 1967. – 300 с.

     2.  Virchenko N. On the generalized confluent hypergeometric function and its

application // J. “Fract. Calculus and Appl. Anal.” – 2006. – 9, № 2. – P. 101 – 108.

     3. Kilbas A. A., Saigo M.  H – Transforms. – Charman and Hall / CRC, 2004. – 390 p