УДК 517.581

 

 

Про нові узагальнення класичних інтегральних перетворень

 Н.О.Вірченко

 

 

 Серед різних аналітичних методів розв'язання крайових задач математичної фізики, багатьох проблем прикладного аналізу, інженерних задач та ін. виділяється метод інтегральних перетворень завдяки своїй винятковій простоті, ефективності, широкій застосовності. Про розмаїті застосування методу інтегральних перетворень існує велика наукова література (див., приміром, [1]-[7]). Та слід зазначити, що існує велика низка складніших задач, які не можна розв'язати за допомогою класичних інтегральних перетворень, але їх вдається розв'язати, використавши інтегральні перетворення з спеціальними функціями в ядрах.

Дана стаття і присвячена питанням теорії нових інтегральних перетворень з узагальненими гіпергеометричними  функціями.

 1. Запровадимо нові узагальнення клaсичних інтегральних перетворень Лапласа, Стілтьєса, теорії потенціалу у вигляді:

а) Узагальнені інтегральні рівняння Лапласа:

                                         (1)

                                        (2)

 де  при  сталі;  -узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція [8]:

                                    (3)

 де  класична бета-функція [9], - гіпергеометрична функція Райта [1]:

 

                                            (4)

 

Зауважім, що якщо в (1) покласти , а в (2) , то одержимо класичне інтегральне перетворення Лапласа [3]:

 

                                     

 

б) Узагальнене інтегральне перетворення Стілтьєса:

 

                       (5)

 де  -функція вигляду (4). Очевидно, що при  із (5) одержимо інтегральне перетворення Стілтьєса [3].

в) Узагальнені інтегральні перетворення потенціалу:

 

                        (6)

 

 

                               

 

                          (7)

 

                               

 

                          (8)

 де -функція вигляду (4). При  в (7), (8) матимемо інтегральне перетворення Стілтьєса [3].

Якщо ж  в (7), (8), то одержимо відповідні інтегральні перетворення, розглянуті в [10] (формули (13), (14)).

2. Подамо деякі властивості нових інтегральних перетворень, зокрема, формули обернення, рівності Парсеваля-Гольдштейна, ілюстративні приклади.

Теорема 1 (формула обернення для (2)).

 При умовах існування інтегрального перетворення  справедлива формула:

                                                             (9)

 де

                                      

 

                   

Доведення.   Застосуймо інтегральне перетворення Мелліна до обох частин (2); врахувавши, що ряд для  абсолютно збігається для всіх  виконуємо перетворення:

 

                        

 

                                       

 

             

 

                        

 

                                 

 

            

Застосувавши до останнього формулу обернення інтегрального перетворення Мелліна, одержуємо (9).

Аналогічно доводимо теорему про формулу обернення для узагальненого інтегрального перетворення

Теорема 2. При умовах існування інтегрального перетворення:

 

                                                   (10)

 справедлива формула:

                                                                      (11)

 де

                    

Виконавши в (1) заміну  одержимо

 

                                 

а після застосування формули обернення для  (11), отримаємо формулу обернення для узагальненого інтегрального перетворення .

Формули обернення для узагальнених інтегральних перетворень  відповідно, мають вигляд:

 

                                                                (12)

 

                                       

 

                                                      (13)

 

                                   

         Теорема 3. Якщо функції  то справедлива рівність типу Парсеваля-Гольдштейна

 

                                          (14)

 при умові абсолютної збіжності інтегралів.

Доведення  легко здійснюється, якщо, згідно умови теореми, виконати заміну порядку інтегрування та враховувати означення (2).

Аналогічно для інтегральних перетворень (7), (8) при умові абсолютної збіжності інтегралів матимемо:

 

                                                   (15)

 

Теорема 4. При умові існуванні інтегралів та їх абсолютній збіжності виконується

рівність типу Парсеваля-Гольдштейна:

                (16)

 

Приклад 1.

                              (17)

 

                                 

 

Приклад 2.

Враховуючи, що

                                (18)

 одержимо формулу

     (19)

 

Користуючись таблицею інтегральних перетворень [3], матимемо:

  (20)

 

 

 

 

1.  H-Transforms. - London: Charman and Hall, 2004. - 390 p.

2.  Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. - М.: Наука, 1968. - Т.1. - 344 с.

4. Вірченко Н. Парні (-арні) інтегральні рівняння. - К.: "Задруга", 2009. - 476 с.

5.  The use of integral transforms. - New York: McGraw-Hill Book Comp., 1972. - 539 p.

6.  Integral Transforms and Their Applications. - Boca Raton: CRC Press, 1995. - 456 p.

7.  A theorem on Stieltjes-type integral transforms and its applications// Complex Var. Theory Appl.- 1995. - . - P. 159-168.

8.  On the generalized confluent hypergeometric function and its applications// J. "Fractional Calculus and Appl. Anal. - 2006. - , N 2. - P.101-108.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1965. - Т.1. - 296 с.

10. Вірченко Н.О., Заїкіна С.М. Узагальнені інтегральні перетворення і їх застосування// Наукові вісті НТУУ "КПІ". - 2008. - №6(62). - С. 133-137.

 

  Н. Вірченко

 Про нові узагальнення класичних інтегральних перетворень

Стаття присвячена теорії нових інтегральних перетворень, що узагальнюють класичні

інтегральні перетворення Лапласа, Стілтьєса, Widder’ потенціалу. Ядрами цих інтегральних перетворень використано -узагальнені конфлюентні гіпергеометричні функції. Доведено формули обернення для нових інтегральних перетворень, встановлено рівності типу Парсеваля-Гольдштейна. Подано деякі приклади застосувань нових інтегральних перетворень.

 

 

 N. Virchenko

On new generalizations of the classical integral transforms

 This paper is devoted to the theory of the new integral transforms, generalizing the classical Laplace, Stieltjes, Widder potential integral transforms. The - generalized confluent hypergeometric functions are the kernels of these integral transforms. Inverse formulae for new integral transforms are proved. The relations of Parseval-Goldstein type are established. Some examples of applications of the new integral transforms are given.

 

 

 Національний технічний університет України „КПІ”