ПРО УЗАГАЛЬНЕНІ ФУНКЦІЇ ЛЕЖАНДРА ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Н.Вірченко, академік АН ВШ України

 

У роботі запроваджено нові узагальнення функцій Лежандра І-го та ІІ-го родів, за допомогою -узагальненої гіпергеометричної функції Гаусса. Розв’язано в явному вигляді інтегральне рівняння Фредгольма І-го роду з -узагальненою приєднаною функцією Лежандра  

Наукові праці з теорії спеціальних функцій завжди викликають інтерес і в математиків, і в інженерів. У математиків – тому, що розвивають загальну теорію, у практиків – тому, що дозволяють розглядати нові задачі, знаходити їх розв’язки, досліджувати їх.

Розмаїтість задач, що породжують спеціальні функції, привела до швидкого росту числа функцій від найпростіших трансцендентних функцій до гіпергеометричних функцій, функцій Матьє та ін. [1].

Зауважім, що оцінка вагомості окремих класів спецфункцій змінювалась з часом. Якщо в минулому сторіччі найцікавішими були еліптичні інтеграли та зв’язані з ними функції, то подальший розвиток математики висунув на перше місце ще один клас – гіпергеометричну та споріднені їй функції. Гіпергеометрична функція, її частинні, вироджені випадки – функції Бесселя, Лежандра, ортогональні многочлени Ерміта, Лагерра, Якобі та інші, – відіграють все більше значення у різних розділах математики та її застосування. Особливо велику роль відіграють функції Лежандра при розв’язанні крайових задач математичної фізики, механіки тощо [2]. Функції Лежандра є і ядрами багатьох інтегральних перетворень, приміром, перетворення Мелера-Фока та його узагальнень. За допомогою цього перетворення одержано точний розв’язок багатьох плоских і просторових задач теорії пружності, для яких не можна використати методи теорії функції комплексної змінної. Розгорнення типу Мелера-Фока використовуються і при дослідженні парних (N-арних) інтегральних рівнянь [3].

У [4] запроваджені узагальнені функції Лежандра  як розв’язок диференціального рівняння

                      .             (1)

Дослідження та застосування цих функцій добре подано в [5].

1.     Розглянемо нові узагальнення приєднаних функцій Лежандра у вигляді

                     (2)

де    функція Фокса-Райта [2].

                                        (3)

                                                                                        (4)

                                                             

де       (5)

бета-функція [1], ─ узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція [6]:

                               (6)

2.     Інтегральне рівняння з функцією  в ядрі.

Розглянемо інтегральне рівняння Фредгольма першого роду вигляду:

                                                     (7)

де     відома функція, - шукана функція, а  ― -узагальнена приєднана функція Лежандра І-го роду:

                              (8)

де  визначається формулою (5) при .

         Інтегральне рівняння (7) перепишемо в оперативному вигляді:

                                                                                                     (9)

де                                                 (10)

         Для знаходження розв’язку рівняння (7) доведімо дві допоміжні леми.

         Лема 1. Оператор

                                                              (11)

можна подати у формі:

                                                                (12)

де

                                                       (13)

                                         ,

                                                                (14)

                                         

                                                                                  (15)

Доведення легко отримуємо, якщо використати (12), (13), законність перестановки порядків інтегрування та виконати прості перетворення.

Лема 2. При виконанні умов існування інтегралу (7) справедлива така композиційна формула для (10):

                                                                 (16)

де  ,  визначаються, відповідно, формулами (15), (14),

         Доведення.    Використовуючи цікаве співвідношення для  (при ):

                                                                                     (17)

                                       

справедливість якого перевіряється безпосередньо, розглядаємо дію оператора

 на   та згідно з (12) переконуємось у справедливості (16).

         Повертаємось до розв’язання інтегрального  рівняння (7). Справедлива

         Теорема. При умовах

 розв’язок інтеграль­ного рівняння (7) має вигляд:

                                  (18)

                        

де  - інтегральний оператор Мелліна,  - обернений оператор Мелліна, 

- обернений оператор для (15),

          

Доведення.  Застосовуючи інтегральне перетворення Мелліна та відому формулу [2]:

                                                                                 (19)

                                         

після перетворень знаходимо обернений оператор для (14). Проінтегрувавши  по , одержимо:

                                                                                                  (20)

                                           

звідки знаходимо вираз для , а врахувавши вигляд , отримаємо (18).

 

1.           Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. – М.:    

          Наука. – 1965. – 296 с.

2.        Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. – Chapman and Hall/CRC, 2004. – 390 p.

 

3.     Вірченко Н. Парні (N-арні) інтегральні рівняння. К.: «Задруга».– 2009.– 476 с.

4.                Kuipers L. Meulenbeld B. On a generalization of Legendre’s associated   

          differential equation//Proc. Konkl. Akad. Weten. A-60. – 1957. – 4. – P.436-450.

5.                Virchenko N., Fedotova I. Generalized Associated Legendre Functions and Their

           Applications. – Singapore: World Sci., 2001. – 196 p.

6.                Virchenko N. On the generalized confluent hypergeometric function and its  

         application// J. “Fract. Calculus and Appl. Anal.” – 2006. –  9, N2. – P. 101 – 108.