УДК 519.21

ЛОКАЛЬНІ ПЕРШІ IНТЕГРАЛИ СИСТЕМ ОДНОРІДНИХ

СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІЗ СТРИБКАМИ

Г.Л. Кулініч, академік АН ВШ України, С.В. Кушніренко

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ

We introduce the notion of the first local integral for homogeneous stochastic differential equations with jumps. We obtain results that allow one to determine the first integral of such stochastic differential equations.

1. Вступ

Розглянемо систему стохастичних диференціальних рівнянь

(1)

де - дiйснi невипадковi векторнi функцiї, визначенi при , , ,, ; -вимірний простір; - незалеж-

нi в сукупностi одновимiрнi вiнерiвськi процеси; - пуассонiвська мiра з параметром , , , ,,; процеси i мiра зада-

нi на ймовiрнісному просторi , - вимiрнi при будь-якому і , а також незалежнi мiж собою, - неспадний потiк - алгебр.

Коефiцiєнти рiвняння (1) , неперервнi, непере-

рвна по , неперервна по за мiрою при i задовольня-

ють такі умови:

існує стала така, що

для довiльної сталої iснує стала така, що

при , .

Вiдомо (див. [1]), що вказані умови гарантують iснування єдиного неперервного справа сильного розв’язку рiвняння (1).

Розглянемо певну відкриту область така, що

для всiх . (2)

Нехай , позначимо через - момент першого виходу траєкторiї розв'язку рівняння (1) iз областi , тобто =, якщо множина тих , для яких не порожня i в iншому випадку.

Позначимо , де - певна стала, - двічі неперервно диференційовна в областi функцiя така, що поверхня є простою у розумінні Жордана і

(3)

неперервні по .

Надалі будемо дотримуватися таких позначень:

,

, - скалярний добуток.

Означення 1. Двічі неперервно диференційовану в областi функцію будемо називати першим інтегралом рiвняння (1) в областi , якщо для всiх і всіх :

з ймовірністю 1,

де при і при

У даній роботі отриманo необхідні і достатні умови (Теорема 1), при яких певна функція буде першим інтегралом рівняння (1) в областi Встановлено відповідність між першими інтегралами систем однорідних стохастичних диференцiальних рiвнянь (СДР) із стрибками вигляду (1) та першими інтегралами певних систем звичайних диференціальних рівнянь. Отримано необхідні і достатні умови (Теорема 2), при яких певні функції будуть першими інтегралами у відповідних областях для певних класів систем другого порядку однорідних СДР із стрибками. Проведені дослідження поширюють відомі результати для СДР Іто, отримані у роботі [2], на певні класи СДР із стрибками.

2. Основні результати

Теорема 1. Двічі неперервно диференційовна в областi функція , для якої виконуються умови (3), є першим інтегралом рiвняння (1) в областi тоді і тільки тоді, коли для всіх виконуються умови:

(4)

(5)

(6)

Доведення. Нехай двічі неперервно диференційовна в областi функція , для якої виконуються умови (3), є першим інтегралом рiвняння (1) в областi . Тоді при має мiсце формула Iто ([1]):

(7)

або

(8)

де

Використовуючи означення 1 і рiвність (8) отримаємо, що при всiх :

(9)

Процес є абсолотно неперервним з ймовірністю 1, тобто має похідну з ймовірністю 1, а процес – локальний мартингал, тобто не має похідної. Тому рiвнiсть (9) може мати мiсце лише у випадку, коли при всiх :

(10)

Далi доводиться, що iз рiвностей (10) випливаоть умови теореми 1.

При доведеннi достатностi використовується умова , iз якої випливає, що процес на кожному скінченному проміжку часу має лише скінченне число стрибків і на кожному інтервалі для процесу використовується формула Іто, із якої випливає, що при . В силу довільності вибору точки та за означенням 1 функція буде першим інтегралом рiвняння (1) в областi . W

Зауваження 1. Як і у випадку систем СДР Іто (див. [2], стор. 18) перші інтеграли систем СДР із стрибками треба шукати лише серед перших інтегралів відповідних систем звичайних диференціальних рівнянь.

Наслідок 1. Якщо у системі (1) , і є першим інтегралом такої системи, то буде першим інтегралом для детермінованої системи диференціальних рівнянь .

Наслідок 2. Якщо у системі (1) , , тоді перші інтеграли системи (1) треба шукати серед перших інтегралів детермінованої системи

. (11)

Зауваження 2. Якщо для функції , яка є першим інтегралом системи (11), виконується умова (6) для всiх , то така функція буде першим інтегралом системи (1) в областi при , .

Наслідок 3. Якщо у системі (1) , , , , тоді умова є необхідною і достатньою умовою того, щоб функція була першим інтегралом такої системи.

Зауваження 3. В умовах наслідків 2, 3 для функції не потрібно вимагати неперервності других похідних, а досить вимагати неперервної диференційовності функції в областi . Це випливає з умов, які накладаються на функцію , для справедливості формули Іто (див. [1]).

Наслідок 4. Якщо у системі (1) , , , при цьому існує неперервно диференційовна функція , для якої виконуються умови (3) і така, що для всiх :

тоді – перший інтеграл такої системи.

3. Локальні перші інтеграли для певних класів систем другого порядку однорідних СДР із стрибками

Для системи (1) другого порядку з одним вiнерiвським процесом, тобто , розглянемо такi класи рiвнянь:

,

,

(полярні координати);

;

де неперервні обмежені функції, .

Теорема 2. Функції вiдповiдно для класiв є першими інтегралами в областях тодi i тiльки тодi, коли для всiх відповідно при виконуються умови:

1. Для

1)

2)

-

3)

за мірою

2. Для

1)

2)

3) за мірою

3. Для

1)

2)

3) за мірою

Теорема доводиться безпосередньою перевiркою виконання для кожного класу умов теореми 1.

4. Висновки

Отримані в роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування при побудові математичних моделей та дослідженні поведінки динамічних систем при випадкових збуреннях процесами типу “білого” і “дробового” шумів.

Література

1. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. – Киев: Наукова думка, 1982. - 611 с.

2. Кулініч Г.Л., Перегуда О.В. Інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь Іто: Навчальний посібник. - Київ: ВПЦ "Київський університет''. - 2002. - 91 с.